MATEMATICAS UTT

domingo, 22 de junio de 2014

HISTOGRAMAS OPERADORES Y MAQUINAS

Histogramas operadores,maquinas,semana from Aron Espino Garcia

Correlacion lineal y estratificacion

jueves, 8 de mayo de 2014

Graficos de control - Nelson rules. Resuelto

Gráficos de control - Nelson rules. Resuelto.

Variabilidad - Control Charts - Graficos de control - Nelson Rules

Introducción.

No existen dos productos idénticos, es inevitable que existan pequeñas variaciones en el proceso las cuáles tiene un efecto sobre el producto. Mientras esta variabilidad sea aleatoria y suficientemente pequeña para que no inhabilite el producto para su uso, decimos que el proceso está bajo control estadístico, pero cuando se presentan variaciones no aleatorias y que afectan a la calidad, es necesario tomar medidas para evitar que se produzcan bienes que no cumplirán su propósito.
Para determinar si la variabilidad en el proceso está bajo control estadístico se utilizan losdatos para gráficos de control, que luego son interpretados mediante las Nelson Rules.

Existen diferentes tipos de gráficos de control, algunos de ellos para variables y otros para atributos, veamos un ejemplo de gráfico para variables. El gráfico xs o "x-barra ese".

Gráfico de medias y desviación estándar.

En un proceso de fabricación se toma una muestra de 15 piezas cada hora durante 24 horas. Las medidas de las piezas se encuentran en el siguiente enlace:

http://www.4shared.com/office/_MLbrOlS/Datos_xs_-_licmata-mathblogspo.html

Gráfico de control construido con los datos del archivo:

Interpretación del gráfico.

Una dificultad que se presenta al tratar de interpretar los gráficos de control es ¿cómo podemos saber si la gráfica muestra un comportamiento aleatorio? ¿Cuándo podemos afirmar que el comportamiento mostrado por la gráfica no puede ser considerado aleatorio?

Seguramente con un buen nivel de conocimientos de probabilidad y estadística sería posible interpretar este gráfico, sin embargo, para facilitar esta tarea se utilizan reglas, como las Western Electric Rules, o las Nelson Rules.

* En este mismo blog podemos encontrar un formulario para gráficos de control en el que, además de las fórmulas contiene una tabla con los valores de las constantes utilizadas para calcular los límites de control y un resumen de las Nelson rules.

Veamos cómo queda el gráfico al interpretarlo mediante las Nelson rules.

Como puede verse en el gráfico, encontramos puntos que cumplen con las características de las Nelson rules 5, 6 y 7. Por lo tanto, podemos suponer que el proceso debe ser examinado para determinar las causas de esta variación no aleatoria.

Veamos la descripción de las Nelson rules señaladas.

Nelson rule 5. Two or three (out of three) points in a row are more than two standard deviations from the mean in the same direction.

Dos o tres (de tres) puntos consecutivos, están a más de dos desviaciones estándar de la media en la misma dirección.

Como ocurre en:

Los tres puntos 4, 5 y 6 de la gráfica de medias.

Los dos (de tres) puntos 4 y 5 de la gráfica de desviación estándar

Los dos (de tres) puntos 10 y 12 de la gráfica de medias

En este caso se junta con la Nelson rule 6

(Los puntos 8, 9, 10 11 y 12)

Nelson rule 6. Four (or five) out of five points in a row are more than one standard deviation from the mean in the same direction.

Cuatro (o cinco) puntos de cinco consecutivos están a más de una desviación estándar de la media, en la misma dirección.

En la gráfica de desviación estándar podemos observar la Nelson rule 7.

Nelson rule 7. Fifteen points in a row are all within one standard deviation of the mean on either side of the mean.

Quince puntos consecutivos están todos dentro de una desviación estándar de la media, en cualquier lado de la media.

Como ocurre con los puntos 8 al 22 en la gráfica de desviación estándar.

Con el uso de estas reglas, es sencillo interpretar cualquier gráfico de control, no obstante, la experiencia nos enseñará cuando y en que medida tomar en cuenta estos resultados.

Solamente como complemento se muestra enseguida la gráfica obtenida con minitab a partir de los mismos datos.

domingo, 9 de marzo de 2014

Distribución Exponencial

La variable aleatoria exponencial, es el tiempo que transcurre hasta que se da el primer evento de Poisson. Es decir, la distribución exponencial puede modelar el lapso entre dos eventos consecutivos de Poisson que ocurren de manera independiente y a una frecuencia constante. Esta distribución se emplea con bastante frecuencia con objeto de modelar problemas del tipo "tiempo - falla" y como modelo para el estudio de intervalos en problemas de espera; por ejemplo, la duración de componentes electrónicos. Posteriormente se demostrará que la distribución exponencial no tiene memoria, es decir, la probabilidad de ocurrencia de eventos presentes o futuros no depende de los que hayan ocurrido en el pasado. De esta forma, la probabilidad de que una unidad falle en un lapso específico depende nada más de la duración de éste y no del tiempo en que la unidad ha estado en operación.

Distribución de poisson

DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc,:

- # de defectos de una tela por m²

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.

- # de bacterias por cm² de cultivo

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

donde:

p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l

l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e = 2.718

x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado

Distribución binomial

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Las características de esta distribución son:

a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.
d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

Distribución de bernoulli

Distribución de Bernoulli

Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta X que toma los valores X=0 si el suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota $X {\leadsto}{ {{\bf Ber} \left( p \right)} }$
$\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle X{\leadsto}{ {{\bf Ber} \left( ... ...ongrightarrow & p = {{\cal P}}[X=1] \end{array}\right. $ } } } \end{displaymath}$
Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al aire y considerar la v.a.

$\begin{displaymath}X \equiv \mbox{ número de caras obtenidas} = \left\{ \begin{a... ...longrightarrow &\displaystyle p=\frac{1}{2} \end{array}\right. \end{displaymath}$

Para una v.a. de Bernouilli, tenemos que su función de probabilidad es:

$\begin{displaymath}f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} q & \mbox{ si } x=0 \\ p & ... ...=1 \\ 0 & \mbox { en cualquier otro caso;} \end{array}\right. \end{displaymath}$

y su función de distribución:

$\begin{displaymath}F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ si } x < 0 \\ q ... ... } 0 \leq x< 1 \\ 1 & \mbox{ si } x \geq 1 \end{array}\right. \end{displaymath}$

Su función característica es:

$\begin{displaymath}\phi_X(t) = \sum_{x_i=0,1} e^{itx_i} f(x_i) = e^{it0} f(0) + e^{it1} f(1) = q + p\cdot e^{it} \end{displaymath}$

Los principales momentos de la X los podemos calcular directamente

$\begin{eqnarray}\html{eqn2}{ {{\bf E} \left[ X \right]} } &=& \sum_{x_i=0,1} x_i... ...{ {{\bf E} \left[ X \right]} }^2 = p-p^2 = p\cdot (1-p)= p\cdot q \end{eqnarray}$